Questões de Matemática - FUVEST 2013 - Primeira Fase

23 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximdamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo \theta entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de \theta e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500km.

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de \theta são

Note e adote

Distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria é aproximadamente 900 km.

\pi = 3

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24 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas.

Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é

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25 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação (x–1)2 +(y–2)2 =1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

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26 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

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27 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

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28 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Sejam \alpha e \beta números reais com -\pi/2 < \alpha < \pi/2 e 0 < \beta < \pi. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,

\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}tg\alpha \\ cos\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -2\sqrt{3} \end{bmatrix},

for satisfeito, então \alpha + \beta é igual a

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29 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente,

Dado: \sqrt[20]{2} \approx 1,035

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30 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual \overline{AF} e \overline{DF} são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento \overline{DF}, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio.

Se AF=15, AG=12, AB=6, CD=3 e DF=5\sqrt{5} indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

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31 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Seja f uma função a valores reais, com domínio D \subset R, tal que f(x) = \log_{10}{(\log_{1/3}({x^{2} - x + 1}))}, para todo x \in D.

O conjunto que pode ser o domínio D é

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32 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

O imposto de renda devido por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das deduções do valor dos rendimentos tributáveis. O gráfico dessa função, representado na figura, é a união dos segmentos de reta \overline{OA}, \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e da semirreta \vec{DE}. João preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo o valor de R$ 43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração, ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que comprovava uma renda tributável adicional de R$ 1.000,00. Ao corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor do imposto devido será acrescido de

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33 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,

Dados

\sqrt{3} \approx 1,73

sen^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - cos\theta}{2}

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34 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

A tabela informa a extensão territorial e a população de cada uma das regiões do Brasil, segundo o IBGE.

Região Extensão territorial (Km2) População (habitantes)
Centro-Oeste 1.606.371 14.058.094
Nordeste 1.554.257 53.081.950
Norte 3.853.327 15.864.454
Sudeste 924.511 80.364.410
Sul 576.409 27.386.891

Sabendo que a extensão territorial do Brasil é de, aproximadamente, 8,5 milhões de km2, é correto afirmar que a

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