Questões de Matemática - FUVEST

46 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)
Relógio Solar é um projeto de Caetano Fraccaroli, executado por Vera Pallamin.Relógio Solar é um projeto de Caetano Fraccaroli, executado por Vera Pallamin.

Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra, sendo μ e ρ, respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a

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45 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é

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44 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

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43 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado  \overline{AB} e o vértice P sobre o lado  \overline{BC} . Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

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42 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana.

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41 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AÔB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

Dados os valores aproximados

 tg 14^{\circ}  \approx 0,2493 ,  tg 15^{\circ} \approx 0,2679
 tg 20^{\circ} \approx  0,3640 ,  tg 28^{\circ} \approx  0,5317

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40 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Sobre a equação  (x+3)2^{x^{2}-9}log|x^{2}+x-1|=0 , é correto afirmar que

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39 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

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38 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero.

Considere as seguintes afirmações:

  1. x é irracional.
  2.  x \geq \frac{10}{3}
  3. x . 102.000.000 é um inteiro par.

Então,

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37 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado  \overline{BC} mede 8 cm. O comprimento de  \overline{BC} é, portanto, igual

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36 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Um apostador ganhou um prêmio R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

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26 (FUVEST 2014 - Primeira Fase)

Uma jovem estudante quis demonstrar para sua mãe o que é uma reação química. Para tanto, preparou, em cinco copos, as seguintes soluções:

Copo Solução
1 vinagre
2 sal de cozinha + água
3 fermento químico (NaHCO3) + água
4 açúcar + água
5 suco de limão

Em seguida, começou a fazer misturas aleatórias de amostras das soluções contidas nos copos, juntando duas amostras diferentes a cada vez. Qual é a probabilidade de que ocorra uma reação química ao misturar amostras dos conteúdos de dois dos cinco copos?

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34 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

A tabela informa a extensão territorial e a população de cada uma das regiões do Brasil, segundo o IBGE.

Região Extensão territorial (Km2) População (habitantes)
Centro-Oeste 1.606.371 14.058.094
Nordeste 1.554.257 53.081.950
Norte 3.853.327 15.864.454
Sudeste 924.511 80.364.410
Sul 576.409 27.386.891

Sabendo que a extensão territorial do Brasil é de, aproximadamente, 8,5 milhões de km2, é correto afirmar que a

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33 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,

Dados

\sqrt{3} \approx 1,73

sen^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - cos\theta}{2}

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32 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

O imposto de renda devido por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das deduções do valor dos rendimentos tributáveis. O gráfico dessa função, representado na figura, é a união dos segmentos de reta \overline{OA}, \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e da semirreta \vec{DE}. João preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo o valor de R$ 43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração, ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que comprovava uma renda tributável adicional de R$ 1.000,00. Ao corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor do imposto devido será acrescido de

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31 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Seja f uma função a valores reais, com domínio D \subset R, tal que f(x) = \log_{10}{(\log_{1/3}({x^{2} - x + 1}))}, para todo x \in D.

O conjunto que pode ser o domínio D é

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30 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual \overline{AF} e \overline{DF} são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento \overline{DF}, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio.

Se AF=15, AG=12, AB=6, CD=3 e DF=5\sqrt{5} indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

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29 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente,

Dado: \sqrt[20]{2} \approx 1,035

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28 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Sejam \alpha e \beta números reais com -\pi/2 < \alpha < \pi/2 e 0 < \beta < \pi. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,

\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}tg\alpha \\ cos\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -2\sqrt{3} \end{bmatrix},

for satisfeito, então \alpha + \beta é igual a

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27 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

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26 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

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25 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação (x–1)2 +(y–2)2 =1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

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24 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas.

Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é

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23 (FUVEST 2013 - Primeira Fase)

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximdamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo \theta entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de \theta e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500km.

O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de \theta são

Note e adote

Distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria é aproximadamente 900 km.

\pi = 3

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68 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t)=ca–kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

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64 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Considere a matriz

\large A = \begin{bmatrix}a & 2a+1 \\a-1 & a+1 \end{bmatrix},

em que a é um número real. Sabendo que A admite A-1 inversa cuja primeira coluna é

\large \begin{bmatrix}2a-1 \\-1 \end{bmatrix},

a soma dos elementos da diagonal principal de A-1 é igual a

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63 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Na figura, tem-se \overline{AE} paralelo a \overline{CD}, \overline{BC} paralelo a \overline{DE}, AE = 2, \alpha = 45 graus e \beta = 75 graus. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento \overline{AB} é igual a

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61 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Considere a função

f(x) = 1 - \frac{4x}{(x+1)^{2}}

a qual está definida para x \neq -1. Então, para todo x \neq 1 e x \neq -1, o produto f(x)f(–x) é igual a

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60 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

O número real x, com 0 < x < \pi, satisfaz a equação \log_{3}{(1 - \cos x)} + \log_{3}{(1 + \cos x)} = -2.

Então, cos2x + senx vale

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59 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

O segmento \overline{AB} é lado de um hexágono regular de área \sqrt{3}. O ponto P pertence à mediatriz de \overline{AB} de tal modo que a área do triângulo PAB vale \sqrt{2}. Então, a distância de P ao segmento \overline{AB} é igual a

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69 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.

Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

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67 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

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66 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Considere todos os pares ordenados de números naturais (a; b), em que 11\leq a \leq 22 e 43 \leq b \leq 51.

Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a; b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

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65 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1; 2).

Nessas condições, o raio de C vale

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62 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

(Sem resposta) Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

  1. 315

  2. 320

  3. 325

  4. 330

  5. 335

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58 (FUVEST 2012 - Primeira Fase)

Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.

Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a

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