Questões de Matemática - FUVEST 2012 - Primeira Fase

Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.

Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a

O segmento é lado de um hexágono regular de área . O ponto P pertence à mediatriz de de tal modo que a área do triângulo PAB vale . Então, a distância de P ao segmento é igual a

O número real x, com , satisfaz a equação .

Então, vale

Considere a função

a qual está definida para . Então, para todo e , o produto f(x)f(–x) é igual a

Na figura, tem-se paralelo a , paralelo a , AE = 2, graus e graus. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento é igual a

Considere a matriz

em que a é um número real. Sabendo que A admite A^-1 inversa cuja primeira coluna é

a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é igual a

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1; 2).

Nessas condições, o raio de C vale

Considere todos os pares ordenados de números naturais (a; b), em que e .

Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a; b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a